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Mathematical Methods of Simulation
(Mathematische Methoden der Simulation)

Forschungsschwerpunkte

Die Forschung an unserem Lehrstuhl beschäftigt sich mit der Approximation von Lösungen zu Problemen, die sich durch partielle Differentialgleichungen beschreiben lassen. Solche Probleme treten in vielfältigster Form in Anwendungen aus Wissenschaft, Medizin und Technik auf, von der Mechanik deformierbarer Körper über Strömungsprobleme in Gewässern, Blutgefäßen und der Atmosphäre bis zur Ausbreitung von elektromagnetischen Wellen und Strahlung.

Während alle diese Anwendungen auf grundverschiedenen physikalischen Grundlagen beruhen, so haben sie doch erhebliche mathematische Gemeinsamkeiten. Daher können Methoden, die für eine Anwendungsklasse konzipiert wurden, oft nach hinreichender Abstraktion und Modifikation für andere Aufgaben eingesetzt werden. Natürlicherweise gliedert sich daher die Arbeit am Lehrstuhl auf der einen Seite in verschiedene mathematische Methoden, auf der anderen in verschiedene Anwendungen. Als Verbindung zwischen beiden steht die Implementation und Entwicklung von Software.

(Anmerkung: Die auf dieser Seite verwendeten Symbole Dissertation Dissertation Dissertation für mögliche Themen von Examensarbeiten sind auf der Seite für Studierende näher erläutert.)

Mathematische Methoden

Unsere Schwerpunkte gliedern sich in unterschiedliche Methoden und unterschiedliche Anwendungsgebiete. Auf der methodischen Seite beschäftigen wir uns mit Kombinationen aus

  1. Finite-Elemente Verfahren (FEM), insbesondere unstetige Galerkin-Verfahren (DGFEM)

    Finite-Elemente-Verfahren haben sich seit den 1960er Jahren zu einem universellen Werkzeug zur Diskretisierung partieller Differentialgleichungen entwickelt. Ursprünglich aus der Baumechanik stammend, werden Sie heute in der Strömungsmechanik eingesetzt wie in der Simulation elektromagnetischer Felder. Das Prinzip der Verfahren ist einfach: anstatt die Lösung einer Differentialgleichungsaufgabe in einem unendlichdimensionalen Funktionenraum zu suchen, betrachtet man nur eine Approximation in einem endlichdimensionalen Unterraum. Dieser wird erzeugt, indem man zunächst das Rechengebiet mit einem Gitter überzieht, und dann auf jeder Gitterzelle nur einen Satz einfacher Funktionen, z. B. von Polynomen bis zu gegebenem Grad, zuläßt. Diese Funktionen werden dann noch eingeschränkt, so dass für die Konsistenz notwendige Stetigkeit zwischen den Gitterzellen garantiert ist.

    Eine besondere Klasse dieser Verfahren sind unstetige Galerkin-Verfahren (DG-Verfahren oder DGFEM). Bei diesen Verfahren werden die üblichen Stetigkeitsbedingungen zwischen den Gitterzellen durch Strafterme ersetzt. Die Funktionen sind damit zwar nicht mehr konform zur Differentialgleichungsaufgabe, die Formulierung ist aber hinreichend konsistent um gute Approximation zu gewährleisten.

    In den letzten Jahren haben wir insbesondere Diskretisierungen von inkompressiblen Strömungen (Stokes- und Navier-Stokes-Gleichungen) entwickelt, deren Approximationen die Inkompressibilitätsbedingungen exakt erfüllen, also strikt divergenzfrei sind. Sie basieren auf DG-Verfahren mit Ansatzräumen, die Teilräume von Hdiv sind. In neueren Arbeiten haben wir die Nützlichkeit solcher Ansätze für die Kopplung freier Flüssigkeiten mit der Strömung in porösen Medien untersucht. Derzeit arbeiten wir an der Entwicklung von Mehrgitterverfahren für solche Diskretisierungen.

    Studium von Eigenfunktionen- und Eigenwerten der diskreten Probleme abhängig von Diskretisierungsparametern

    Implementation von hybridisierten Verfahren ("Hybrid FEM" oder "HDG") für diverse Anwendungen

  2. Adaptive Diskretisierungen und Fehlerschätzer

  3. Mehrgitterverfahren

    Mehrgitterverfahren sind die effizientesten Lösungsmethoden für diffusive Probleme. Im Rahmen von Software, die Gitterhierarchien abspeichert, sind geometrische Mehrgitterverfahren auch relativ einfach zu implementieren. Am Lehrstuhl besteht langjährige Erfahrung mit Mehrgitterverfahren für diverse Diskretisierungen und Modelle. Ein aktives Forschungsgebiet ist die Anwendung der Verfahren auf inkompressible Strömungen und auf Strahlungstransportprobleme.

    Parameterstudien zur Bestimmung der Robustheit von Mehrgitterverfahren für gekoppelte Strömungsprobleme

    Robustheit von Mehrgitterverfahren für Strahlungstransport mit anisotroper Streuung

    Implementation eines Mehrgitterverfahrens für hybridisierte finite Elemente

    Mehrgitterverfahren für divergenzkonforme Diskretisierungen der Navier-Stokes-Gleichungen.

    Sowohl bei der Implementation eines nichtlinearen Glätters als auch bei Mehrgittervorkonditionierung der linearisierten Teilaufgaben in Newton-Verfahren bringen divergenzkonforme Diskretisierungen den Vorteil der exakten Divergenzfreiheit. Damit kann lineare Stabilität auf jeder Gitterstufe der Hierarchie garantiert werden. Basierend auf dieser Beobachtung sollen in diesem Projekt Varianten eines Mehrgitterverfahrens implementiert und an charakteristischen Modellbeispielen untersucht werden.

    Dieses Thema hat sein Gewicht mehr auf Implementation und Experiment; eine mathematische Rechtfertigung der Verfahren ist nach derzeitigem Stand, wie oft im wissenschaftlichen Rechnen nicht durch Beweise, sondern nur durch Analogieschlüsse von entsprechenden linearen und selbstadjungierten Aufgabenstellungen möglich.

    Effiziente näherungsweise Schwarz-Glätter für Strahlungstransport

    Analyse von Mehrgitterverfahren für Strahlungstransport

  4. Mehrfachschießverfahren für partielle Differentialgleichungen

  5. Filtermethoden zur stochastischen Optimierung für partielle Differentialgleichungen

    Filtermethoden (Kalman-Filter, Luenberger-Filter, etc.) stellen eine Alternative zur direkten Lösung der Lagrange-Gleichungen zur deterministischen Optimierung auf der einen und Bayesschen Verfahren zur stochastischen Parameterschätzung auf der anderen Seite dar. Insbesondere benötigen sie keine Auswertung von dualen Problemen, was sie für die Optimierung von partiellen Differentialgleichungsaufgaben interessant macht. Daher ist das Studium solcher Verfahren und die Entwicklung von Theorie und Software dazu als künftiges Arbeitsgebiet am Lehrstuhl vorgesehen. Während bisher keine eigenen Resultate auf diesem Gebiet erarbeitet worden sind, bietet sich hier für Studierende ein interessantes und mathematisch recht wenig erforschtes Thema.

    Implementation von Filtermethoden für Advektions-Diffusionsprobleme

    Entwicklung von Software für Filtermethoden mit adaptiver Gittersteuerung

    A posteriori Analyse und adaptive Methoden für Filtermethoden bei Advektions-Diffusionsproblemen

Implementation und Software-Entwicklung

Der Lehrstuhlinhaber beschäftigt sich seit 1992 mit der Entwicklung von Software für finite Elemente. Hauptergebnis dieser Arbeit ist die Programmbibliothek deal.II in Zusammenarbeit zunächst mit Wolfgang Bangerth, jetzt einer größeren Gruppe von Entwicklern.

deal.II war von Anfang an ein Projekt, das die Autoren mit der nötigen Software für ihre Forschungsprojekte versorgt hat. Dementsprechend war die Entwicklung immer auf numerische Methoden und ihre Anwendung gerichtet, und es gibt keine Bibliotheksteile, die nur auf Halde programmiert worden sind. Es hat mittlerweile einen erheblichen Umfang erreicht, doch mit dem Fortschreiten der Forschung und der Verschiebung von Arbeitsschwerpunkten finden sich immer wieder neue Richtungen für die Verbesserung und Erweiterung.

Implementation von finiten Elementen durch templates

Implementation von DG-Verfahren auf GPUs

Entwicklung von Gitterstrukturen mit differenzierbaren Zell-Mappings

Implementation und Analyse von Mehrskalenmethoden, die direkt auf Tomographiedaten aufbauen

Effiziente Mehrgitterverfahren auf GPUs

Es fallen regelmäßig Aufgaben der Softwarepflege, wie das Schreiben von Tests und Dokumentation oder die Verbesserung einzelner Komponenten an, die studentischen Hilfskräften ein interessantes Betätigungsfeld bieten. Erfahrene C++ Programmierer im Bachelor- oder Masterstudium haben auf diese Weise auch die Möglichkeit, in die Arbeit am Lehrstuhl hineinzuschnuppern und dafür bezahlt zu werden.

Anwendungsgebiete

Die Liste der Anwendungsgebiete für unsere Methoden umfaßt zur Zeit:

  1. Strahlungs- und Neutronentransport

    Die Simulation von Strahlungsfeldern in streuenden Medien ist rechentechnisch sehr aufwendig, da schon die stationäre Aufgabe als Boltzmann-Gleichung im sechsdimensionalen Phasenraum formuliert ist. Hinzu kommen Schwierigkeiten, die sich aus der schlechten Konditionierung der Aufgabe und aus extremen Nichtlinearitäten ergeben. Daher werden zur Zeit in der Literatur immer vereinfachte Probleme mit dem Ziel, in der Zukunft das volle Problem zu lösen, betrachtet.

    Langjährige Erfahrungen bestehen mit dem Lösen des monochromatischen Strahlungstransports; hier ist der Phasenraum nur fünfdimensional. In den letzten Jahren von uns entwickelte DG-Verfahren zusammen mit effizienten Mehrgitterlösern sind nun an einem Punkt, wo sie an komlexeren Aufgaben getestet werden können.

    Visualisierung von Rauch und Nebel durch monochromatischen Strahlungstransport

    Simulation von multigroup neutron transport

    Simulation der Spektrallinienverbreiterung durch kohärente Streuung

    Effiziente Methoden für den Strahlungshaushalt im lokalen thermodynamischen Gleichgewicht

  2. Gekoppelte Strömungsmodelle

    Kopplungen zwischen verschiedenen Strömungen, wie zum Beispiel der freien Strömung in einem Fluss und der Grundwasserströmung im Flussbett oder dem Wasser im Ozean und der Atmosphäre darüber, sind von herausragender Bedeutung zum Verständnis vieler natürlicher und technischer Vorgänge. Desweiteren finden sich in dieser Kategorie ähnliche Modelle, die die Interaktion von Strömungen mit deformierbaren Körpern beschreiben, sei es der Transport von Zellen im Plasma oder von Blut in Adern. Allen diesen Anwendungen ist gemeinsam, dass zwei Modelle an einer Grenzschicht aneinander gekoppelt werden.

    Oft ist das Modell zur Kopplung nur ungenügend bekannt, oder Modellparameter lassen sich nur schwer messen. So beschäftigen wir uns seit einigen Jahren mit Methoden der statistischen Parameteridentifikation, um effektive Reibungskoeffizienten zwischen Luft und Ozean unter Hurricane-Bedingungen zu bestimmen. In diesem Fall sind direkte Messungen nicht nur kostspielig und schlichtweg lebensgefährlich, sie führen auch zu statistisch verrauschten Ergebnissen, die für großräumige Modelle nur wenig nützlich sind. Der Parameteridentifikationsansatz geht daher von einem Modell aus, dass einzelne Wellen und Wirbel nicht mehr auflöst, dafür aber einen zunächst unbekannten Parameter einführt, der durch Messung und Simulation bestimmt wird. Solche Parameter können dann in Vorhersagemodellen eingesetzt werden, um Schutzmaßnahmen zu optimieren.

    Wenn das Grenzschichtmodell bekannt ist, so führt es, wie zum Beispiel beim Übergang zwischen freier Strömung in ein poröses Medium wie einen Filter, in der Regel zu einer scharfen Grenzschicht, in der die Lösung sich der Physik im jeweils anderen Medium anpasst. Wendet man numerische Methoden zur Approximation dieser Lösung an, so müssen diese die Grenzschicht hinreichend berücksichtigen, da sonst unbrauchbare Ergebnisse produziert werden. Hier hat man die Wahl, entweder Standardmodelle zu verwenden und zu verfeinern, bis die Grenzschicht hinreichend aufgelöst ist, oder man kann Methoden entwickeln, die auch bei gröberer Auflösung die Grenzschicht berücksichtigen. Den letzteren Weg gehen wir bei unseren Arbeiten zur Darcy-Stokes-Kopplung, wo wir genau an die Physik angepasste finite Elemente einsetzen.

    Simulation des Transports dünner Membrane durch phase field-Funktionen

    Simulation und Visualisierung von Strömungen durch Filtersysteme

    Simulation von Strömungen in Brennstoffzellen in Kooperation mit dem Fraunhofer ITWM in Kaiserslautern

    Simulation von Grundwasserkontamination durch verschmutztes Oberflächenwasser

    Implementation und Untersuchung von Strömungsmodellen mit eingebettetem Rand

    Entwicklung von Verfahren für die Simulation des Langzeitverhaltens von Filtern

  3. Wellenausbreitung

    Simulation der Wellenausbreitung nach einem Spalt mit diskreter Fouriertransformation. Dieses Thema ist auch besonders geeignet als Examensarbeit für Studierende Lehramt Mathematik/Physik

  4. Anwendungen in der Biologie

    Viele biologische Prozesse lassen sich durch gekoppelte Systeme partieller Differentialgleichungen beschreiben. Diese Systeme führen in der Regel nicht auf glatte, stationäre Endzustände hin, sondern oszillieren und führen zur Bildung von Strukturen. Solche Strukturen zu simulieren ist ein wichtiges Zukunftsgebiet der Mathematik.

    Simulation der Bildung von Turing-Mustern

    Simulation von Chemotaxis mit Massenerhaltung